2.3.1 浮点数的表示

1、浮点数的表示

浮点数通常表示为：

N=rE×MN=rE×M

r：阶码的底，通常为2E：阶码，反映浮点数的表示范围和小数点的实际位置，用补码或移码表示M：尾数，其位数反映了小数的精度，用原码或补码表示

例：阶码和尾数都用补码表示，求a、b的真值

a = 0,01; 1.1001b = 0,01; 0.01001a：

阶码0,01对应真值+1尾数0.1001对应真值-0.0111，也可看作-111右移四位：−724−247​故a=21×(−724)=−78a=21×(−247​)=−87​b：

阶码对应真值+1尾数0.01001对应真值+0.01001，也可看作+1001右移五位：+925+259​故b=21×925=916b=21×259​=169​

2、浮点数的规格化

规定尾数的最高位必须是一个有效值。

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1 ( 基数为2时)：

001; 00100(1)=21×(+0.01001)21×(+0.01001)-->20×(+0.10010)20×(+0.10010)= 000; 01001(0)

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，将尾数右移一位，阶码加1 (基数为2时)。

例：a=010; 00.1100；b = 010; 00.1000，求a+b

a=22×00.1100b=22×00.1000a+b=22×(00.1100+00.1000)=22×01.0100(发生溢出)=23×00.1010a=22×00.1100b=22×00.1000a+b​=22×(00.1100+00.1000)=22×01.0100(发生溢出)=23×00.1010​​

规格化后的尾数满足：1r≤∣M∣≤1r1​≤∣M∣≤1

规格化的目的：增加数据表示的精度

3、IEEE 754 标准

尾数前隐含一位1

类型数阶阶码尾数数值总位数偏置值短浮点数1823327FH（127）长浮点数11152643FFH（1023）临时浮点数11564803FFFH规格化的短浮点数的真值为：(−1)S×1.M×2E−127(−1)S×1.M×2E−127；规格化的长浮点数的真值为：(−1)S×1.M×2E−1023(−1)S×1.M×2E−1023。对于短浮点数而言，偏置值取127，此时阶码（移码）的表示范围为**-126~127**：

真值补码移码-128*1000 00001111 1111-127*1000 00010000 0000-1261000 00100000 0001………………00000 00000111 1111………………1270111 11111111 1110-128和-127的作用：

E=0E=0且M=0M=0，则真值为0；E=0E=0且M≠0M=0，为非规格化数，真值=(−1)S×0.M×2−126=(−1)S×0.M×2−126；E=255E=255且M≠0M=0，真值为‘NaN’（非数值）；E=255E=255且M=0M=0，真值为正或负无穷。

例：将 -0.75D 转换为IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

将十进制转化为二进制

−0.75D=−0.11B−0.75D=−0.11B

将小数的高位变为1 （对应尾数隐含的1）

−0.11=−(1.1)2×2−1−0.11=−(1.1)2​×2−1

数符：1

尾数：取小数点后面部分，并补0

.1000 0000 0000 0000 0000 000

阶码：真值+偏移量

(−1+127)D=126D=01111110B(−1+127)D=126D=01111110B

结果：1 0111 1110 1000 0000 0000 0000 0000 000

例：IEEE 754的单精度浮点数 C0 A0 00 00 H的值是多少

化为二进制

1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000数符：1阶码：1000 0001尾数：0100 0000 0000 0000 0000 000尾数：加上隐含的1

(1.01)2(1.01)2​阶码

先看作无符号数：1000 0001B = 129D移码-偏置值：129-127=2真值：−(1.01)2×22=−(1.25)10×22=−5.0−(1.01)2​×22=−(1.25)10​×22=−5.0

2.3.2 浮点数的运算

1、加减运算

步骤：

对阶尾数加减规格化舍入判溢出

例：已知十进制数X=−5256X=−2565​、Y=+591024Y=+102459​，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

5D=101B,1256=2−8X=−101×2−8=−0.101×2−5D=−0.101×2−1015D=101B,2561​=2−8X​=−101×2−8=−0.101×2−5D=−0.101×2−101​​

阶码

-101，补码为：1011阶符取两位、阶码取三位：11011尾数

-0.101，补码为1.011数符取两位，尾数取九位：11.011000000可得X：11011；11.011000000同理：59D=111011B,11024=2−10Y=+111011×2−10=+0.111011×2−4D=+0.111011×2−10059D=111011B,10241​=2−10Y​=+111011×2−10=+0.111011×2−4D=+0.111011×2−100​​

阶码

-100，补码为1100阶符取两位、阶码取三位：11100尾数

+0.111011，补码为0.111011数符取两位，尾数取九位：00.111011000

（1）对阶

使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1。

[ΔE]补=11011−11100=11011+00100=11111[ΔE]补​=11011−11100=11011+00100=11111

11111为-1的补码，故ΔE=−1ΔE=−1，X的阶码比Y的阶码小1

阶码每加1，尾数右移一位，则有新的X：11100；11.101100000（右移之后前面补1）

此时，X=−0.0101×2−100X=−0.0101×2−100

（2）尾数相加减

首先有 -Y= 11100；11.000101000

尾数相加，得：

11.101100000+11.00010100010.11000100011.101100000+11.00010100010.110001000​​

相当于提取公因式

（3）规格化

由于上一步发生了溢出，因此需要右规

尾数右移一位，阶码加1，得：X-Y=11101；11.011000100

（4）舍入

{% hint style=“info” %}“0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去;被移去的最高数值位为1， 则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”， 都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

{% endhint %}

无舍入

（5）判断溢出

未发生溢出

结果真值为2−3×(−0.1001111)22−3×(−0.1001111)2​

2、强制类型转换

数据类型16位机器32位机器64位机器char888short161616int163232long323264long long646464float163232double646464char --> int --> long --> double 以及 float --> double，不会损失精度。

对于32位系统：

int：表示整数，范围为−231∼231−1−231∼231−1，有效数字32位float：表示整数及小数，范围±[2−126∼2127×(2−2−23)]±[2−126∼2127×(2−2−23)]，有效数字23+1=24位int --> float：可能损失精度（有效数字比float多）float --> int：可能溢出（超出int表示范围）及损失精度（小数部分）