正弦函数 定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

正弦函数的定义在直角三角形中，设一个锐角为 θ\thetaθ，则正弦定义为：

sin⁡θ=对边斜边\sin \theta = \frac{{对边}}{{斜边}}sinθ=斜边对边​其中，“对边”是指与角 θ\thetaθ 相对的那条直角边，“斜边”是三角形的最长边。

符号说明符号类型读音/说明在本文中的含义θ\thetaθ希腊字母Theta（西塔）表示角的大小（锐角） 性质定义域：R\mathbb{R}R值域：[−1,1][-1, 1][−1,1]周期：2π2\pi2π奇偶性：奇函数单调性：在 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][−2π​,2π​] 上递增对称性：关于原点对称R\mathbb{R}R（双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格，用于区分集合符号和普通变量。

图像 发散思维1. 弦是什么弦（xián，chord）：在圆中，连接圆上任意两点的线段称为弦。通过圆心的弦叫做直径，是最长的弦。

历史背景：早在公元前 1800 年，古巴比伦人就使用弦长表解决天文和测量问题。古希腊数学家希帕恰斯和托勒密创建了详细的弦表，记录给定圆心角对应的弦长。

弦与正弦的关系：正弦函数（sine）的名称来源于”弦”的概念。在圆中，从圆心向弦的中点作垂线，将弦分成两等份，这一半的弦长就是现代正弦函数的雏形。后来印度天文学家将”半弦”的概念进一步发展，形成了现代的正弦函数。

2. “sine” 这个名称是怎么来的正弦函数的英文名称”sine”经历了一段有趣的”翻译旅行”：

印度：公元 5 世纪，印度天文学家阿耶波多创造了”jya”（正弦）一词阿拉伯：“jya”音译为阿拉伯文的”jiba”，但被误读为”jaib”（意为”湾”或”海湾”）欧洲：12 世纪，“jaib”被翻译成拉丁文”sinus”（也意为”湾”）现代：最终演变为英语”sine”这就是为什么正弦函数的名称是”音译+误译”的产物，原本与”弦”相关，但在翻译过程中变成了”湾”的含义。

练习题练习1已知 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx，求其定义域和值域。

答案与解析 (3 个标签)正弦函数 定义域 值域定义域：R\mathbb{R}R；值域：[−1,1][-1, 1][−1,1]。

练习2画出 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 和 y=cos⁡xy = \cos xy=cosx 的大致图像，并比较它们的周期性和对称性。

答案与解析 (4 个标签)正弦函数 余弦函数 周期 奇偶性y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 和 y=cos⁡xy = \cos xy=cosx 周期均为 2π2\pi2π，sin⁡x\sin xsinx 是奇函数，cos⁡x\cos xcosx 是偶函数。

练习3已知 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx，求其最小正周期。

答案与解析 (2 个标签)正弦函数 周期最小正周期为 2π2\pi2π。

练习4下列函数中，哪些是奇函数？(A) y=sin⁡xy = \sin xy=sinx(B) y=cos⁡xy = \cos xy=cosx(C) y=tan⁡xy = \tan xy=tanx(D) y=x2y = x^2y=x2

答案与解析 (5 个标签)正弦函数 余弦函数 正切函数 奇函数 偶函数(A)、(C) 是奇函数，(B)、(D) 不是。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义π\piπ希腊字母Pi（派）圆周率，用于表示正弦函数的周期（2π2\pi2π）R\mathbb{R}R数学符号双线体 R（Real numbers）表示实数集，正弦函数的定义域中英对照中文术语英文术语音标说明正弦函数sine function/saɪn ˈfʌŋkʃən/三角函数之一，记作 sin⁡x\sin xsinx正弦sine/saɪn/函数名称，简写为 sin⁡\sinsin对边opposite side/ˈɒpəzɪt saɪd/直角三角形中与角相对的直角边斜边hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːz/直角三角形中最长的边周期period/ˈpɪəriəd/函数值重复出现的最小间隔定义域domain/dəʊˈmeɪn/自变量的取值范围值域range/reɪndʒ/函数值的取值范围奇函数odd function/ɒd ˈfʌŋkʃən/满足 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x) 的函数弦（xián）chord/kɔːd/圆中连接圆上任意两点的线段上一章节角度与弧度详细讲解角度和弧度的定义、换算关系及其在三角函数中的应用 下一章节余弦函数详细讲解余弦函数的定义、性质、图像及典型习题。 课程路线图1高等数学之函数探秘

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